Main field and convex covariant density for quasi-linear hyperbolic systems. Relativistic fluid dynamics

Abstract

A quasi-linear hyperbolic system of the first order, in conservative form, is considered and a supplementary conservation law is supposed to exist, as a consequence of the field equations. 
Starting from a paper of K.O. Friedrichs the definition of convex covariant density is introduced and it is proven through an explicitely covariant formalism that: 
a) a main field U' exists depending only on the field equations and the supplementary conservation law, but invariant through field variable mapping; 
b) the system assumes a symmetric conservative form if U' is chosen as field variable and the symmetric system is generated by the knowledge of only one four-vector; 
c) it is possible to define a covariant scalar function on a shock manifold which provides entropy growth (in the sense of P. D. Lax); 
d) the previous function generates the shock and the shock manifolds are not space-like if the characteristic ones are not space-like. 
Finally the system of relativistic fluid dynamics is shown to possess a convex covariant density and consequences of the results a-d) are discussed in detail. 


Riassunto

Si considera un sistema iperbolico quasi-lineare di equazioni del primo ordine, in forma conservativa, e si suppone l'esistenza di una legge di conservazione supplementare. 
Partendo da un lavoro di K.O. Firedrichs viene introdotta la definizione di densità covariante convessa e si dimostra mediante un formalismo esplicitamente covariante che: 
a) Esiste un campo principale U' che dipende solo dalle equazioni di campo e dalla legge di conservazione supplementare, invariante per trasformazione delle variabili di campo; 
b) Il sistema assume forma simmetrica conservativa quando si scegli U' come campo e il sistema simmetrico viene generato mediante la sola conoscenza di un quadrivettore; 
c) È possibile definire una funzione scalare covariante sulla superficie d'urto che assicura la crescita dell'entropia (nel senso di Lax); 
d) Tale funzione genera l'urto e le superfici d'urto non sono di tipo spazio se non sono tali anche le superfici caratteristiche. 
Infine si dimostra che il sistema della fluidodinamica relativistica possiede una densità covariante convessa e si discutono in dettaglio le conseguenze dei risultati a)-d).